, называется нормированной при . Если — нормированная при фундаментальная матрица, то частное решение системы записывается в виде , где — начальное при значение решения.

1.2. Траектории автономных систем.

Будем рассматривать автономную систему в векторной форме:(2)

где функция f(x) определена в .

Автономные системы обладают тем свойством, что если — решение уравнения (2), то , , также решение уравнения (2). Отсюда в частности следует, что решение можно записать в виде . В геометрической интерпретации эта запись означает, что если две траектории уравнения (2) имеют общую точку, то они совпадают. При этом можно заметить, что траектория вполне определяется начальной точкой , поэтому можно везде считать .

Пусть — положение равновесия, т. е. . Для того чтобы точка была положением равновесия, необходимо и достаточно, чтобы . Предположим теперь, что траектория решения не является положением равновесия, но имеет кратную точку, т. е. существуют , такие, что . Так как — не положение равновесия, то . Поэтому можно считать, что при . Обозначим и покажем, что — -периодическая функция.

Действительно, функция является решением уравнения (2) при , причем . В силу единственности и совпадают при всех . Применяя аналогичное рассуждение к решению , получим, что определено при и функции и совпадают при этих t. Таким образом, можно продолжить на все , при этом должно выполняться тождество

,

то есть — периодическая функция с наименьшим периодом.

Траектория такого решения является замкнутой кривой. Из приведенного вытекает следующий результат: Каждая траектория автономного уравнения (2) принадлежит одному из следующих трех типов:

положение равновесия;

замкнутая траектория, которой соответствует периодическое решение с положительным наименьшим периодом;

траектория без самопересечения, которой соответствует непериодическое решение.

1.3. Предельные множества траекторий.

Определение. Точка называется -предельной точкой траектории , , если существует последовательность такая, что при . Множество  всех -предельных точек траектории называется ее -предельным множеством. Аналогично для траектории