Понятие краевой задачи
Решение дифференциального уравнения – функция, которая, будучи подставлена в уравнение, обращает его в тождество.
Выделяются общие и частные решения дифференциального уравнения. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
где с - произвольные постоянные.
Частное решение – такое решение, которое получается из общего при определенном значении произвольной постоянной c.
Для нахождения частного решения уравнения второго порядка вида:
где p(x), q(x), r(x) - заданные функции.
требуется задать два условия. В зависимости от вида этих условий различают две задачи: задачу Коши, краевую задачу.
В случае краевой задачи задаются значения искомой функции в каких-либо двух точках интервала интегрирования:
Решение краевой задачи методом конечных разностей (метод сеток)
Алгоритм метода заключается в выполнении следующих трех этапов:
- Замена области непрерывного изменения аргумента областью его дискретного изменения;
- Замена дифференциального оператора некоторым разностным оператором, формулировка разностного аналога для граничных условий;
- Решение полученной в результате осуществления первых трех этапов алгебраической системы линейный уравнений
Первый этап метода конечных разностей
Требуется найти решение дифференциального уравнения на определенном отрезке. Выбираем произвольное число разбиений отрезка – n. Тогда получим (n+1) узел разностной сетки: