Задача 1.
Вариант 1.
Закон построения шкалы прибора определятся функцией вида y=ax+b
Найти параметры этой зависимости методом наименьших квадратов по результатам измерений:
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
2.0 3.0 4.0 5.0 6.0
Попытаемся представить данные в виде y = a*x + b.
|
|
xi |
yi |
xi - x |
(xi - x)2 |
yi - y |
(xi - x)(yi - y) |
|
|
1.0 |
2.0 |
-2.0 |
4.0 |
-2.0 |
4.0 |
|
|
2.0 |
3.0 |
-1.0 |
1.0 |
-1.0 |
1.0 |
|
|
3.0 |
4.0 |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
|
|
4.0 |
5.0 |
1.0 |
1.0 |
1.0 |
1.0 |
|
|
5.0 |
6.0 |
2.0 |
4.0 |
2.0 |
4.0 |
|
Сумма |
15.0 |
20.0 |
|
10.0 |
|
10.0 |
где x = (1.0 + 2.0 + 3.0 + 4.0 + 5.0)/5 = 15.0/ 5 = 3.0,
y = (2.0 + 3.0 + 4.0 + 5.0 + 6.0)/5 = 20.0/ 5 = 4.0,
a = ∑(xi - x)(yi - y)/∑(xi - x)2 - суммы i=1 до 5, зн. из таблицы
a = 10.0/10.0 = 1.0
b = y - a*x, значит
b = 4.0 - 1.0*3.0 = 1.0
поэтому y = a*x + b = 1.0*x + 1.0
Посчитаем среднеквадратичные ошибки определения a и b:
т.к. Sa2 = ∑[(yi - a*xi - b)2]/(n - 2)/∑[(xi - x)2],
то Sa = √0.0/(5 - 2)/10.0 = 0.0