Побудова простору Лебега
17

Таким чином, інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів. Далі, при ; з іншого боку,   і, отже, при ми маємо  ;  цим самим ми,фактично, довели, що число можна виносити за знак інтегралу. При будь-якому знаку .

Зазначимо, що якщо , то . Справді, якщо , , i , то та , тому . Звідси отримаємо, що із випливає . Тепер доведемо важливу теорему про почленне інтегрування рядів з додатними доданками.

Теорема 3.1. (Беппо Леві, 1906). Якщо для ряду ,

Інтеграли від частинних сум обмежені  тобто , то є сумовною функцією, і .

Доведення. Спершу зазначимо, що в розкладі сумовної функції , функції i можна підпорядковувати подальшим умовам. Наприклад, можна вибрати завжди так, щоб мати , задане число як завгодно мале. Для цього потрібно розглянути послідовність східчастих функцій так, що і потім написати .

Очевидно, що при достатньо великому , умова,  яка вимагається  для функції   виконується. Замітимо  при цьому, що якщо то і функція  також отримується невід’ємною.               Тепер для кожної із функцій які беруть участь у формулюванні теореми, побудуємо розклад  ,  де      ( При цьому ряд      задовольняє умови наслідку із теореми §2 (,. Тому  належить до класу та . Покажемо, що і ряд   також задовольняє умови цього наслідку; дійсно, ми маємо і . Тому і                 належить класу   і . Звідси  належить класу L та .

Цим самим ми довели нашу теорему 3.1.

Наслідок.  Якщо сумовні функції , монотонно зростаючи, прямують до та то сумовна функція і .

Для доведення досить покласти і застосувати теорему 3. Аналогічний результат справедливий, зрозуміло, і для спадних послідовностей   , якщо тільки .

Надалі ми будемо розглядати довільні (немонотонні) граничні переходи. Класичні приклади показують, що не можна очікувати теореми вигляду                  “ із того, що випливає ” без додатних припущень про характер збіжності послідовності