Таким чином, інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів. Далі, при ; з іншого боку, і, отже, при ми маємо ; цим самим ми,фактично, довели, що число можна виносити за знак інтегралу. При будь-якому знаку .
Зазначимо, що якщо , , то . Справді, якщо , , i , то та , тому . Звідси отримаємо, що із випливає . Тепер доведемо важливу теорему про почленне інтегрування рядів з додатними доданками.
Теорема 3.1. (Беппо Леві, 1906). Якщо для ряду , ,
Інтеграли від частинних сум обмежені тобто , то є сумовною функцією, і .
Доведення. Спершу зазначимо, що в розкладі сумовної функції , функції i можна підпорядковувати подальшим умовам. Наприклад, можна вибрати завжди так, щоб мати , задане число як завгодно мале. Для цього потрібно розглянути послідовність східчастих функцій так, що і потім написати .
Очевидно, що при достатньо великому , умова, яка вимагається для функції виконується. Замітимо при цьому, що якщо то і функція також отримується невід’ємною. Тепер для кожної із функцій які беруть участь у формулюванні теореми, побудуємо розклад , де , ( При цьому ряд задовольняє умови наслідку із теореми §2 (,. Тому належить до класу та . Покажемо, що і ряд також задовольняє умови цього наслідку; дійсно, ми маємо і . Тому і належить класу і . Звідси належить класу L та .
Цим самим ми довели нашу теорему 3.1.
Наслідок. Якщо сумовні функції , монотонно зростаючи, прямують до та то сумовна функція і .
Для доведення досить покласти і застосувати теорему 3. Аналогічний результат справедливий, зрозуміло, і для спадних послідовностей , якщо тільки .
Надалі ми будемо розглядати довільні (немонотонні) граничні переходи. Класичні приклади показують, що не можна очікувати теореми вигляду “ із того, що випливає ” без додатних припущень про характер збіжності послідовності