1. Дії групи на множині

Означення 5. Нехай -  група з нейтральним елементом , а -множина. Будемо говорити, Що діє на , якщо задана операція (образ пари позначається просто ), якщо виконуються такі умови:

Означення 6. Нехай - множина. Множина всіх бієктивних функції з операцією композиції називається симетричною групою на множині і позначається .

Помітимо, що будь-який гомоморфізм задає дію групи на множині за правилом . Навпаки, якщо задано на множині , то можна задати гомоморфізм формулою . Таким чином можна вважати, що дія групи на множині – це гомоморфізм , що і висувається в якості означення дії групи на множині в деякій літературі.

Уведемо тепер деякі поняття пов’язані з дією групи на множині , які використовуються у формулюванні й доведенні леми Бернсайда.

Означення 7. Орбітою елементу під дією називається множина . Кількістю елементів в даній орбіті називається довжина орбіти (в різних орбітах може бути різна кількість елементів).

Будь-які дві орбіти або не перетинаються, або співпадають. Таким чином множина розбивається на диз’юнктивне об’єднання орбіт.

Означення 8.  Нерухомими точками елемента називають такі для яких . Множину нерухомих точок елемента позначимо .