Доведення.

Подамо групу A об’єднанням правих класів суміжності ajA(y) за підгрупою Позначимо кількість таких класів суміжності через m. Для кожного класу суміжності поставимо у відповідність елемент з орбіти .

1. При різних і різними також є і , бо інакше добуток належить до групи , а тому належить до . Останнє висловлювання суперечить відсутності спільних елементів множин та , тобто розбиттю на класи суміжності. Отже, вказане відображення є відображенням «в» (ін’єкцією).

2. Згідно з означенням орбiти, для довільного елемента орбіти існує елемент групи , при якому. У свою чергу, згідно з розбиттям на праві класи суміжності існують та елемент групи , при яких . В результаті маємо.

Отже, вказане відображення є відображенням «на» (сюр’єкцією). Інакше кажучи, кожний елемент орбіти є образом деякого класу суміжності. Таким чином, доведено існування взаємно однозначного відображення з множини класів суміжності в обіту , тому вони мають однакову кількість елементів. Теорему доведено.                                                                                                                                        

1. Лема Бернсайда (Коші-Фробеніуса)

Існують декілька варіантів леми: звичайний, спрощений, ваговий і т.д. Запишемо формулювання леми Бернсайда, використовуючи зазначений вище теоретичний матеріал.