Метод наименьших квадратов может быть применен для различных параметрических функций, но часто в инженерной практике в качестве аппроксимирующей функции используются многочлены по какому-либо линейно независимому базису {φk(x), k=0,...,n}:
F(x, c) = Σk=0n[ckφk(x)].
В этом случае система линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов будет иметь вполне определенный вид:
a00c0 + a01c1 +… + a0ncn = b0
a10c0 + a11c1 +… + a1ncn = b1
…
an0c0 + an1c1 +… + anncn = bn
akj = Σi=0N [φk(xi)φj(xi) ], bj = Σi=0N[f(xi)φj(xi) ]
Чтобы эта система имела единственное решение необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы А (определитель Грама) был отличен от нуля. Для того, чтобы система имела единственное решение необходимо и достаточно чтобы система базисных функций φk(x), k=0,...,n была линейно независимой на множестве узлов аппроксимации.
В этой статье рассматривается среднеквадратичное приближение многочленами по степенному базису {φk(x) = xk, k=0,...,n}.