Так як в будь-якій близькості від раціональної точки знайдуться ірраціональні точки, і навпаки, то яким би не було   в проміжку , границі при не існує, так що в кожній точці маємо розрив другого роду (з обох сторін).

Приклад3. Нехай у проміжку [0, 1] функцію визначена так: якщо х раціональне і виражається нескоротного дробом , то ; для ірраціонального покладемо . Тоді в кожній раціональній точці функція має звичайні розриви, в той час як в кожній ірранальній точці вона неперервна.

Дійсно, нехай буде будь-яка точка в розглянутому проміжку. Якщо задатися довільним числом , то існує лише скінечне число натуральних чисел q, не більших  , а значить в проміжку знайдуться раціональні точки , для яких .

Точку можна оточити таким околом, щоб в неї не потрапила жодна з цих точок (крім, можливо, самої точки ). Тоді, лише тільки , чи буде x раціонально чи ні, у всякому разі . Значить, для будь-якої точки   існують

Якщо є ірраціональна точка, то і , тобто в цій точці функція неперервна; якщо ж раціонально, то відмінна від 0, і маємо розриви з обох боків.

Висновки