Решение уравнений математической физики методом конечных элементов
5
  1. Уравнение Лапласа. Распределение электрического потенциала.

Электрический потенциал

 

Электри́ческий потенциа́л — временна́я компонента четырёхмерного электромагнитного потенциала, называемый также иногда скалярным потенциалом(скалярным — в трёхмерном смысле; инвариантом группы Лоренца он не является, то есть, не является неизменным при смене системы отсчёта).

Через электрический потенциал \varphi (но в общем случае не через него один) выражается напряжённость электрического поля:

\vec E = -\vec\nabla \varphi - \frac{\partial \vec A}{\partial t},

где \vec \nabla — оператор градиента (набла), а \vec A  векторный потенциал, через который выражается (также) магнитное поле.

В частном случае постоянных или пренебрежимо медленно меняющихся со временем электрического и магнитного полей (случай электростатики), электрический потенциал носит название электростатического потенциала, а формула для напряжённости электрического поля (называемого в этом случае электростатическим) упрощается, так как второй член (производная по времени) равен нулю (или достаточно мал по сравнению с первым — и его можно приравнять нулю в рамках принятого приближения):

\vec E = -\vec\nabla \varphi.

В этом случае, как нетрудно увидеть, пропадает (отсутствует) вихревое электрическое поле, поле \vec E  потенциально, а отсюда следует возможность определить электростатический потенциал через работу, совершаемую электрическим полем, так как она в этом случае полностью определяется разностью потенциалов в начальной и конечной точке.