§1. Множини міри нуль і вимірні функції

Нагадаємо [3, c. 125], що коли - міра, задана на півкільці в , зовнішня міра в , що породжена мірою , алгебра вимірних множин в, які ми надалі будемо називати просто вимірними, і стан-дартне продовження міри з напівкільця на алгебру .

Ті підмножини називається множиною міри нуль. Рівність означає, що для кожного існує така послідовність елементів що i

Якщо множина А є підмножиною відрізку , то означення множини міри нуль буде виглядати так: A називається множиною міри нуль, якщо для довільного її можна покрити скінченною або зліченною послідовністю інтервалів, сума довжин яких не перевищує .

Твердження 1.1. Довільна зліченна сукупність точок є множиною міри нуль. Довільний відрізок [a,b] не є множиною нуль.

Доведення. Нехай  - зліченна множина . Зафіксуємо деяке . Тоді послідовність інтервалів з довжинами              покриває  точки множини А і має загальну суму довжин, не більше ніж . Отже, множина А є множиною міри нуль.

Доведемо тепер, що  відрізок  не є множиною нуль. Справді, якщо відрізок покритий  системою відкритих інтервалів числової прямої , то за  лемою Гейне-Бореля [2, c. 122] , можна з даного покриття вибрати скінченне підпокриття ; сума довжин навіть цих інтервалів перевищує число , тобто довжину всього відрізка .

Множини міри нуль є такими, що значення функції на цій множині не є суттєвим при обчисленні інтегралу від неї.

Твердження 1.2.  Інтеграл від функції , який рівний одиниці на множині А міри нуль, і рівний нулю на доповненні А,  рівний нулю.

Доведення. Покриємо множину А системою інтервалів з загальною довжиною меншою за . Зрозуміло, що інтеграл від функції , якщо він визначений правильно, не повинен перевищувати суму площ прямокутників висотою 1 та основами на вказаних інтервалах. А ця сума рівна сумі довжин самих інтервалів і за умовою менша , тобто може бути як завгодно малою. Звідси, необхідно випливає, що функція повинна мати інтеграл, рівний нулеві.