раз складаємо число з самим собою). Тому кількість орбіт можна обчислити за формулою . Підставивши сюди формулу для довжини орбіти, отримаємо . Використовуючи формулу із зауваження1, отримаємо , що й потрібно було довести.
Теорема 8. (ваговий вигляд)
де - вага орбіти (вага будь-якого його представника), - вага елемента.
Перш ніж розв’язати «задачу про намиста» нам потрібно сформулювати та довести теорему Рефілдера-Пойа, на основі якої ґрунтується розв’язання. В свою чергу доведення цієї теореми ґрунтується на основі леми Бернсайда.
- Теорема Рефілдера-Пойа
Означення 10. Нехай:
— група підстановок на множині
— скінчена група підстановок на зліченій множині Y, що містить не менше двох елементів;
— вагова функція, визначена на Y, зі значеннями у множині невід’ємних цілих чисел і така, що при довільному невід’ємному цілому j кількість cj його прообразів скінчена: .
Уведемо такі поняття.