Висновки

Хоч теорія груп достатньо молода галузь математики, але завдяки титанічним зусиллям багатьох поколінь математиків (Ж-Л. Лагранжа, Е. Галуа, Л. Ейлера,  Н. Абеля та ін.) знайшла своє застосування у інших областях «цариці наук». В даній роботі ми розглянули застосування теорії груп при розв’язуванні комбінаторних задач, а точніше при розв’язуванні задачі про знаходження кількості різних намист, що складаються з намистин, що пофарбовані в кольорів.

Опорним фактом для розв’язування задачі «про намиста» є твердження, яке відоме в комбінаториці під назвою «лема Бернсайда». Тому одним із завдань даної роботи було сформулювати та довести це важливе твердження. Виконання цього завдання передбачало використання теоретичного матеріалу з теорії груп, який ми висвітлили в першій половині роботи.

Перш ніж розв’язати задачу про намиста було сформулювано та довено теорему Рефілдера-Пойа, на основі якої ґрунтується розв’язання. В свою чергу доведення цієї теореми ґрунтується на основі леми Бернсайда. Потім, використовуючи теорему Рефілдера-Пойа було успішно розв’язано задачу про намиста. Далі в роботі було продемонстровано декілька прикладів застосування леми Бернсайда при розв’язуванні комбінаторних задач.

За результатами проведеного курсового дослідження на тему «Лема Бернсайда і задача про намиста» можна зробити висновок, що комбінаторні задачі про кількість об'єктів, що не суміщаються один з одним певними перетвореннями, які розв’язуються за допомогою леми Бернсайда, є цікавим важливим застосуванням теорії груп.