Вступ

У житті сучасного суспільства дуже важливу роль відіграє математика. Сьогодні математика знаходить широке застосування при вирішенні найрізноманітніших проблем науки. Однією з найважливіших областей сучасної математики є абстрактна алгебра, в центрі уваги якої знаходяться різні алгебраїчні структури, такі, як групи, підгрупи, напівгрупи, кільця тощо. Одним з фундаментальних розділів сучасної алгебри є теорія груп. Групи, по суті, є один з основних типів алгебраїчних структур. Знадобилася робота кількох поколінь математиків, що зайняла в цілому близько ста років, перш ніж ідея групи викристалізувалася з її сьогоднішньої ясністю.

Теорія груп почала формуватись в якості самостійного розділу математики наприкінці XVIII століття. Протягом перших десятиліть XIX століття вона розвивалася повільно і практично не привертала до себе уваги. Але потім, близько 1830 року, завдяки роботам Е.Галуа і Н.Абеля всього за кілька років вона зробила гігантський стрибок, який зробив глибокий вплив на розвиток всієї математики. З тих пір основні поняття теорії груп стали детально досліджуватися. В даний час теорія груп є однією з найбільш розвинених областей алгебри, що має численні застосування, в тому числі і у інших галузях математики.

Так, теорія груп використовується при розв'язуванні задач комбінаторного характеру. Ця робота і присвячена таким застосуванням теорії груп, зокрема в роботі розглядається відома комбінаторна задача про намиста з узагальненнями.

Найбільший внесок в розв’язанні даної задачі здійснив Вільям Бернсайд завдяки власному твердженню про кількість орбіт в підгрупі симетричної групи, яка зараз відома як лема Бернсайда. Хоча чимало сучасних дослідників схиляються до думки, що він не єдиний автор даної леми.