, для яких, а це суперечило б визначенню с, як верхньої межі для . Якщо було , то знову на підставі леми мали б і поблизу с ліворуч, саме в деякому досить малому проміжку, а тоді там зовсім не було б значень, що також неможливо, бо c, за ​​визначенням, є точна верхня межа для .

Слід зауважити, що вимога неперервності функції в замкнутому проміжку істотно: функція, що має розрив хоч в одній точці, може перейти від від'ємного значення до додатного і не перетворюючись в 0. Так буде, наприклад, з функцією , яка ніде не приймає значення 0, хоча а (стрибок при х = 1).

Теорема (Перша теорема Больцано-Коші). Якщо функція неперервна на відрізку [а; b] і на його кінцях набирає значень різних знаків, то всередині відрізка [а; b] знайдеться хоча б одна точка x= c , в якій функція дорівнює нулю.

Доведення. Нехай Оскільки неперервна в точці справа , а в точці зліва, то за лемою

Звідси множина D точка x, для яких непорожня. Крім того вона обмежена, оскільки є підмножиною відрізка [а; b], отже має точну верхню грань supD=c. Ясно, що , тому

 Покажем, що , тоді знайдеться окіл , в усіх точках якого знак буде такий же як , що суперечить властивостям точної верхньої грані.

Отже, . Інші випадки доводяться аналогічно. 

Теорема (Друга теорема Больцано-Коші). Нехай функція неперервна на відрізку [а; b] і набуває на його кінцях різних значень: