Означення2. Функція називається неперервною в точці x0 є(a;b), якщо існує границя функції в цій точці і вона дорівнює значеню функції в точці х0.

Отже, функція  у точці х0 буде неперервною тоді і тільки тоді, коли виконуються умови:

1)  якщо функція   визначена в точці x0;

2) якщо існує границя   в точці x0;

3) якщо границя функції дорівнює значенню функції в цій точці, тобто 

Разом всі ці умови є необхідними і достатніми для того, щоб функція була неперервною в точці x0.

Приклад1. Показати, що степенева функція , де n ціле число , неперервна в будь-якій точці числової осі.

Степеневу функцію при цілому додатному показнику визначено на всій числовій осі. Візьмемо довільну точку Тоді .

Отже,

Тому функція є неперервною в будь-якій точці  

Означення 3. Функція   називається неперервною в точці x0 , якщо для будь-якого як завгодно малого числа  , існує таке число , що для всіх x0є(a;b) , які задовольняють нерівності , виконується нерівність .