матрицей  .

Решение. Составим характеристическое уравнение матрицы .

.

Итак, матрица имеет два собственных значения: , .

Найдем собственные вектора. Обозначим его .

При , получаем: .

Полагая, что , получаем собственный вектор .

При , получаем: .

Полагая, что , получаем собственный вектор .

Ответ: Собственные значения: , . Собственные вектора: , .

 

№4. Боковые стороны и меньшее основание трапеции равны . Определить большее основание, при котором площадь трапеции будет наибольшей.

Решение:

 

.

Найдем из прямоугольного треугольника по т. Пифагора:

 

 

.

Тогда .

Рассмотрим функцию на и исследуем ее на наибольшее значение.

Вычислим: .

.

Значение не подходит, т.к. , тогда .

Значит, наибольшее значение функция достигает в т. .

Итак, площадь трапеции будет наибольшей, если .

Ответ: .

 

№5. Вычислить предел функции по правилу Лопиталя

Ответ: 2/9.