Пусть на кривой Г , где , задана непрерывная функция , где – точка на кривой.

Рис. 2. Разбиение кривой Г.

Зададим разбиение T кривой Г точками A = No, N1, N2, …, Nn = B, (см. рис. 2). На каждой из дуг ∪Nk Nk+1 выберем по произвольной точке Mk  с координатами (ξk, ηk, ζk) и составим интегральную сумму:

,  (2)

где Δsk – длина дуги ∪Nk Nk+1.

Определение 2. Криволинейным интегралом первого рода от функции по кривой Г называется предел интегральной суммы (2) при бесконечном увеличении числа n точек деления Nk и бесконечном уменьшении длин дуг ∪Nk Nk+1, если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения T, ни от выбора точек Mk на дугах:

    (3)

Для криволинейного интеграла по замкнутой кривой Г используется иное обозначение:

Существование криволинейного интеграла устанавливает следующая теорема: