Таким чином, Y являє собою проміжок з кінцями m i M (які самі можуть йому належати чи ні).

Отже,множина всіх значень відміної від сталої функції неперервної на відрізку складає деякий відрізок.

Теорема (Перша теорема Вейєрштрасса). Якщо функція неперервна на відрізку [а; b], то серед її значень на цьому відрізку існує найбільше і найменше.

Доведення. Міркуватимемо від супротивного: припустимо, що функція при зміні х на проміжку виявляється необмеженою.

У такому випадку для кожного натурального числа n знайдеться в проміжку   таке значення , що

За теоремою Больцано-Веєрштрасса, з послідовності можна виділити збіжну підпослідовність

причому, очевидно, . Внаслідок неперервності функції в точці, тоді має бути і

,

а це неможливо, так як з формули (2.1) випливає, що

отримане протиріччя і доводить теорему.

Теорема (Друга теорема Вейєрштрасса). Неперервна на відрізку функція обмежена на цьому відрізку.

Доведення. Покладемо