Ця рівність означає, що для будь-якого числа існує таке число   , що з нерівності випливає нерівність .Останні нерівності виражають неперервність функції в точці х0 за означенням Коші.

Нехай функція неперервна за означенням Коші в точці x0 є(a;b). Тоді, поклавши, бачимо, що з нерівності випливає нерівність , або, а це означає, що

Приклад3. Користуючись третім означенням неперервності функції в точці показати , що показникові функція неперервна в довільній точці

Візьмемо довільну точку і знайдемо приріст функції  у точці :

Задача буде розв’язаною, якщо показати, що

Розглянемо спочатку випадок Тоді

Очевидно, що