Групу називають комутативною (абелевою), якщо множення комутативне, тобто добуток не залежить від порядку співмножників: .

Закон асоціативності множення формулюють ще й так: добуток не зале- жить від порядку виконання дії множення (не плутати з порядком співмнож- ників). Саме у такій редакції його потрібно поширити на більшу кількість співмножників, розуміючи добуток як, наприклад, результат виконання дії множення у порядку запису зліва направо: . Множина взаємно однозначних відображень довільної множини в себе є групою щодо суперпозиції, тобто послідовного застосування відображень.

Теорема 1. Для довільної групи справджуються такі висловлювання.

1. Лівий обернений елемент є також правим оберненим елементом, який для кожного елемента групи єдиний: .

2. Ліва одиниця є також правою одиницею, тобто множення на неї справа не змінює жоден елемент групи:.

3. Одиниця множення у групі єдина.

Доведення. 

Помножимо зліва рівність на елемент, обернений до і використаємо асоціативність множення. В результаті отримаємо: , тобто лівий обернений елемент є також правим оберненим;

, тобто кожна ліва одиниця є одночасно правою одиницею; • помноживши зліва і справа довільний елемент a групи на його обернені   і   та по-різному розставляючи дужки, тобто використовуючи асоціативність множення, легко пересвідчитися, що обернений елемент єди