9. ДВІЙКОВІ ЦИКЛІЧНІ КОДИ
9.1. Теоретичні положення
Подання кодових комбінацій у циклічних кодах виконують у вигляді поліномів від формальної змінної х, що дозволяє звести дії над кодовими комбінаціями до дій над поліномами. Так, сума двох двій-кових поліномів виконується додаванням за модулем 2 коефіцієнтів за рівних степенів змінної х. Наприклад, отримаємо суму за модулем 2 двох поліномів: ( х 4 Åх 3 ÅхÅ1)Å( x 3 Å x 2 Åx ) = x 4 Åx 2 Å1. Множення виконується за звичайними правилами множення степеневих функцій, але коефіцієнти однакових степенів додаються за модулем 2. Так, ( x 4 Åx 3 ÅxÅ1)( xÅ1 ) = x 5 Åx 4 Åx 2 ÅxÅx 4 Åx 3 ÅxÅ1 = = x 5 Åx 3 Åx 2 Å1.
Ділення також виконується як звичайне ділення поліномів, при цьому операція віднімання співпадає з операцією додавання Å. Наприклад, ( x 5 Åx 3 Åx 2 Å1 ) / ( xÅ1 ) = х 4 Åх 3 ÅхÅ1.
До циклічних належать лінійні блокові ( n,k ) - коди, у яких циклічний зсув елементів будь-якої дозволеної комбінації призводить до виникнення також дозволеної комбінації, що належить до даного коду. Така циклічна перестановка з’являється завдяки помноженню полінома даної комбінації на x.Щоб степінь полінома не перевищував n – 1, член x n замінюється одиницею.
Особливу роль в теорії циклічних кодів відіграють твірні поліноми, у якості яких звичайно використовуються незвідні поліноми та їх добутки.
Циклічні коди з d min = 3 . Розрізняють алгебраїчні та матричні способи побудови циклічних кодів. Існують три алгебраїчні способи побудови кодових комбінацій циклічного коду, які випливають з виразу