Задача 6.12 Используя теорему Пуанкаре-Бендиксона, доказать существование цикла у уравнения:

Решение:

      1) Найдем состояния равновесия данной системы:

Данная система уравнений имеет единственную точку покоя (0,0)

2)Составим Якобиан системы:

Для точки мы имеем:

Составим характеристическое уравнение матрицы:

  или  ,

Оба корня имеют положительные вещественные части полином не Гурвицев. Система имеет единственное неустойчивое равновесие.

3) Покажем, что система является диссипативной. Найдём Якобиан  линейной части системы:

4)Составим характеристический полином для матрицы А: