Волновое уравнение является одним из основных уравнений математической физики и широко используется в приложениях. Если зависит только от двух (одной) пространственных переменных, то волновое уравнение упрощается и называется двумерным (одномерным).

Основным аппаратом численного решения уравнений с частными производными являются разностные методы (методы сеток).

Для нахождения численного решения системы дифференциальных уравнений методом конечных разностей определяется набор точек (сетка), а исходные уравнения заменяются разностными уравнениями, позволяющими находить решение при помощи последовательного выполнения определенных арифметических операций. Получается система линейных алгебраических уравнений, решая которую в ответе получают приближенные значения решения в точках. Точки, формирующие этот набор, называются узлами сетки. Говорят, что численный метод аппроксимирует исходную систему уравнений, если при стремлении количества точек к бесконечности численное решение стремится к точному решению исходной системы уравнений.

Главной проблемой конечных разностей является построение правильной разностной схемы, которая будет сходится к решению. Используют такие методы получения конечно-разностных выражений: полиномиальный, разложение в ряд Тейлора, метод конечных объемов.

Решение задач методом конечных разностей, когда процесс изменяется во времени представляет собой итерационный процесс – на каждой итерации мы находим решение на новом временном слое.

Данный метод основан на определении производной функции y = y(x):

.(1.2)

Если имеется функция u = u(x,t), то частичная производная будет следующая:

.(1.3)