2.Решение уравнения продольных колебаний бруска с использованием пакета MATLAB
2.1Постановка задачи, определение начальных и граничных условий
Продольные колебания бруска описываются волновым уравнением:
,(2.1)
в котором и – продольное перемещение, E– модуль упругости, ρ – плотность материала бруска. Брус имеет длину Lи защемлен по концам. Захватив брус в центре, его деформируют так, что продольное перемещение становится равным и*. Затем брус освобождают из состояния покоя.
Для решения данной задачи будем использовать метод конечных разностей, а именно явную разностную схему (1.32) на шаблоне (рис. 1.2). Численная схема для решения уравнения (2.1) будет иметь вид:
(2.2)
Начать счет по формуле (2.2) можно лишь для второго слоя, а решения на нулевом и первом слоях должны быть известны. Они находятся с помощью начальных условий:
(2.3)
(2.4)
На нулевом слое используем условие (2.3), а, чтобы найти решения на первом слое условие (2.4) заменим конечно-разностной аппроксимацией. В простейшем случае полагают:
(2.5)
Из этого соотношения можно найти значения сеточной функции на первом временном слое:
(2.6)