Теорема 1. Если Г – непрерывная кусочно-гладкая кривая и функция f(M) непрерывна на ней, то криволинейный интеграл первого рода (3) от функции f(M) существует и определен однозначно.

Теорема 2. Если кривая Г задана уравнениями (1), а функция f(M) непрерывна на этой кривой, то криволинейный интеграл первого рода от функции f(M) находится по формуле

  (4)

Замечание. При использовании формулы (4) следует обращать внимание на то, чтобы при изменении параметра t от а до b дифференциалы ds и dt были неотрицательными, поскольку выражение

задает элемент длины дуги, который отрицательным быть не может.

ПРИМЕР 1. Найти интеграл , где кривая Г – дуга окружности с центром в начале координат и радиуса 1 между точками А(0, 1) и В(1, 0) (см. рис. 3). Введем на кривой Г параметризацию: . Тогда . Здесь модуль раскрывается со знаком « – » поскольку при интегрировании от точки А до точки В параметр t изменяется в интервале от π /2 до 0 и, следовательно, dt < 0. Применяя формулу (4), получим: