выполняется неравенства

                                                 (1.5)

будут иметь место неравенства

                                                (1.6)

для любого значения то невозмущенное движение (1.3) устойчиво^[4]. В противном случае неустойчиво и устойчиво асимптотически, если дополнительно имеют место предельные равенства

                                 (1.7)

Решение вопроса об устойчивости дискретных систем дается естественным распространением теорем прямого метода Ляпунова на рассматриваемый случай. Пусть существует вещественная функция относительно которой будем предполагать, что существует достаточно малая область

                                                  (1.8)

внутри которой она однозначна, непрерывна и обращается в нуль, когда все координаты Х суть нули. Будем дополнительно считать, что функция является знакоопределенной положительной (отрицательной), если для всех значений координат удовлетворяющих неравенству (1.8), кроме знакопостоянной положительной (отрицательной), если при указанных выше условиях

Если функция не является знакоопределенной или знакопостоянной, то в любой сколь угодно малой окрестности точки то функция может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Такую функцию будем называть знакопеременной.

Введем обозначения

                                            (1.9)