Задача 9.2.3
Знайти твірний поліном Р(х) двійкового коду БЧХ, здатного виправляти трикратні помилки та призначеного для передачі символів деякого алфавіту, потужність якого дорівнює 32.
Розв’язання. Мінімальна кодова відстань для коду БЧХ, здатного виправляти трикратні помилки, d min = 2s + 1 = 2 ´ 3 + 1 = 7. Для передачі символів алфавіту потужністю 32 повідомлень достатньо мати k = 5 двійкових інформаційних символів (25 =32).
Для визначення твірного полінома Р(х) коду БЧХ, що має d min = 7 та k = 5, скористаємося таблицею 9.2. Бачимо, що мінімальна довжина коду БЧХ з заданими параметрами n = 15 ( k = 5, r = 10, d min = 7 ), для якого твірний поліном у вісімковій системі числення P8 = 2467, або у двійковій системі числення P2 = 010100110111. Таким чином твірний поліном коду БЧХ буде мати вигляд P(x)=x10⊕x8⊕x5⊕x4⊕x2⊕x⊕1.
Задача 9.2.4
Закодувати двійковим кодом БЧХ , що виявляє до шести помилок та має п’ять інформаційних символів, кодову комбінацію двійкового простого коду 10101. Показати процес виявлення шести помилок. Визначити надмірність коду.
Розв’язання. Поліном, який відповідає комбінації 10101 первинного коду, має вигляд Q(x)=x4⊕x2⊕1. Для того, щоб код БЧХ міг виявляти шість помилок, він повинен мати d min = s + 1 = 6 + 1 = 7. Тому, користуючись таблицею 9.2, визначаємо параметри коду БЧХ, який має здатність виявляти шість помилок: n = 15, k = 5, r = 10, P8 = 2467. Переводимо значення твірного поліному, що записане у вісімковій системі числення, у двійкову P2 = 010100110111, і далі за-писуємо його у вигляді поліному: P(x)=x10⊕x8⊕x5⊕x4⊕x2⊕x⊕1.
Закодуємо задану комбінацію двійкового простого коду кодом БЧХ, для чого :
– помножимо Q(x) на хr: (x4⊕x2⊕1)x10 =x14⊕x12⊕x10;