можна було взяти довільно малим, то ми приходимо до висновку, що , що і потрібно було довести.

Доведемо тепер властивість v), обернену до властивості iv).

Нам дано, що функції невід’ємні, монотонно спадають і що . Очевидно, що функції , спадаючи і залишаючись додатними, мають при деяку границю . Ми повинні довести, що функція майже скрізь рівна нулеві. Для будь-якої функції множина всіх точок, де вона відмінна від нуля, є зліченною сумою множин . Запис в правій частині рівності показує, що множина є множиною всіх точок, де . Якщо ми покажемо, що в нашому випадку кожна із множин має міру нуль, то і їх сума , за лемою 1, також буде мати міру нуль. Тому обмежимось дослідженням множини .

Досить розглянути ту частину множини , де функції неперервні (інша частина зліченна і тому має міру нуль). Так як , то в кожній із точок множини також . Фіксуємо номер ; тоді ділянки сталості функції , які відповідають її значенням, більшим або рівним утворюють покриття множини . Нехай означає суму довжин цих ділянок. Так як , то ми отримаємо, що при .

Таким чином, при достатньо великому множина покривається системою інтервалів з класу східчастих функцій на більш ширший клас.

Нагадаємо схему побудови інтегралу Рімана. В цій схемі для побудови інтеграла від функції діють наступним чином. Розбивають відрізок точками поділу   на частинні інтервали позначають                ,                                  і складають дві суми (залежні, звісно, від сукупності точок розбиття на частини):   Перша сума називається нижньою, друга-верхньою. Якщо, додавши нові точки поділу, замінити розбиття  розбиттям то ,    . Звідси, фактично, слідує, що які б не були підрозбиття i  . Далі розглядається довільна послідовність розбиттів    кожне з яких отримується внаслідок добавленням до попереднього нових точок поділу; тоді відповідні нижні і верхні суми утворюють монотонні послідовності, які йдуть назустріч одна одній: . Кожна із послідовностей має тому свою границю : причому . Доводиться що числа i не залежать від вибору послідовності розбиттів якщо тільки довжина максимального інтервалу в розбитті необмежено зменшується з ростом