Взагалі кажучи, функція належить класу разом з функцією (що не можна сказати про функції  i ).               Наступна власти- вість показує, що клас замкнутий відносно граничного переходу за зростаючими послідовностями функцій з обмеженими інтегралами:

Теорема 2.3. Якщо та , то i .

Доведення. Для кожної із функцій побудуємо визначаючу її зростаючу послідовність східчастих функцій:

,     

,    

…………………………………………..

           ,        і т.д.

Далі покладемо . Очевидно, що також східчаста функція і послідовність монотонно зростає. Далі, звідки . Позначимо через ; згідно означення класу ми  маємо  та . Але так як для будь-якого фіксованого і , то переходячи до границі при знаходимо звідки (майже скрізь). Таким чином, . Потім ;  так як  то  , чим доведення і завершується.

Наслідок. Якщо для ряду , , ,  інтеграли від частинних сум обмежені, так що   то є функцією класу та . Для доведення досить покласти і застосувати теорему 2.3.

§3. Сумовні функції та простір Лебега

В цьому параграфі ми завершимо побудову інтегралу, продовживши його з класу   на деякий більш ширший клас , в якому вже можна буде проводити всі звичні для функцій операції.

Сумовною (або інтегровною за Лебегом) функцією будемо називати довільну функцію яка може бути представлена як різниця двох функцій із класу .