L,  що й стверджувалось. При цьому ми маємо, що ,   i  звідки .

Цим самим ми довели наступну теорему:

Теорема 3.2. (Лебег, 1902). Якщо послідовність сумовних функцій збіжна майже скрізь до функції і задовольняє умову: то сумовна функція та .

Взагалі кажучи, рівність справедлива, якщо функції обмежені в сукупності.

З цієї теореми ми можемо отримати важливий результат відносно складу класу .

Теорема 3.3. Якщо деяка вимірна функція задовольняє (майже скрізь) нерівність ,то вона сумовна (і цим самим належить до класу ).

Доведення. Нехай послідовність східчастих функцій, яка визначає вимірну функцію . Обрізуючи її зверху по рівню і знизу по рівню , тобто замінюючи її функцією ми отримаєм послідовність сумовних функцій, які належать класу , збіжну майже скрізь до функції . Отже, є сумовною функцією, що і вимагалось.

Взагалі кажучи, довільна обмежена вимірна функція сумовна.

З іншого боку, доведена нами теорема про сумовні функції дозволяє зробити подальші зауваження про вимірні функції. Покажемо, що границя збіжної майже скрізь послідовності вимірних функцій якщо вона скінченна майже скрізь – є вимірною функцією. Достатньо розглянути випадок , оскільки в противному випадку можна окремо розглянути послідовності i . Але, якщо майже скрізь збігається до , то також майже скрізь послідовність функцій збігається до .

Функції  знаходяться між нулем і одиницею і вимірні. Тому вони сумовні, а їх границя   доведеним, - також сумовна  і, отже, вимірна функція.

Зауважимо, що може приймати значення нуль тільки там, де тобто на множині міри нуль. Тому, перетворюючи отриману рівність, знайдемо, що і є вимірною функцією, оскільки чисельник і знаменник отриманого відношення вимірні і знаменник майже скрізь відмінний від нуля.