Тогда функция также удовлетворяет условию Липшица на промежутке I.
Доказательство.
, по свойству модуля, модуль суммы не превосходит суммы модулей, получаем, что
Из этого делаем вывод, что существует постоянная , такая что
.
Следовательно, функция удовлетворяет условию Липшица на промежутке I.
Теорема 3.
Пусть функции удовлетворяют условию Липшица на промежутке I, т.е.
и
Тогда функция также удовлетворяет условию Липшица на промежутке I.
Доказательство.
, по свойству модуля, модуль суммы не превосходит суммы модулей и модуль произведения равен произведению модулей, получаем, что