РАЗДЕЛ 4
ВЗАИМОСВЯЗЬ МЕЖДУ КЛАССОМ ФУНКЦИЙ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ УСЛОВИЮ ЛИПШИЦА,
И ДРУГИМИ КЛАССАМИ ФУНКЦИЙ.
В данном разделе рассмотрим как связаны свойств функции удовлетворять условию Липшица с тем, что данная функция может быть непрерывной, ограниченной, монотонной, дифференцируемой, равномерно непрерывной, иметь ограниченную производную или быть функцией ограниченной вариации.
- Взаимосвязь с классом ограниченных функций.
Теорема 1.
Пусть функция 
удовлетворяет условию Липшица на отрезке 
, тогда функция ограничена на этом отрезке.
Доказательство.
Возьмем 
значение функции в точке
.
по свойству модуля, модуль суммы не превосходит суммы модулей, получаем
(условие ограниченности).
Получили, что функция, удовлетворяющая условию Липшица на отрезке, ограничена на этом отрезке.
Обратная теорема неверна. Т.е. не любая ограниченная на отрезке функция удовлетворяет условию Липшица.
В качестве доказательства приведем контрпример.
