РАЗДЕЛ 5

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ УСЛОВИЯ ЛИПШИЦА

Для функции  условие Липшица — это ограниченность по модулю угловых коэффициентов всех хорд графика функции.

По определению Липшицевых функций имеем:

.

Очевидно, эквивалентно условию, что

.

Выражение в левой части неравенства — это угловой коэффициент хорды
(рис.6, a).

Например, функция  на отрезке не удовлетворяет условию Липшица, т. к. вблизи точки  хорды графика становятся сколь угодно близкими к вертикали (рис.6, б).

Функция  (не всюду дифференцируемая) удовлетворяет условию Липшица с константой ,  т.к. угловой коэффициент хорд графика, очевидно, по модулю не больше единицы (рис.6, в).

Рис.6