,
она является ограниченной на всей области определения
,
по теореме Лагранжа получим
.
Следовательно, 
удовлетворяет условию Липшица.
1. 
Выясним, удовлетворяет ли данная функция условию Липшица.
Доказательство.
Покажем, что
Зафиксируем точку 
Для того, чтобы подобрать 
, проверим, что при 
.
Действительно, применяя правило Лопиталя[1], находим:
Тогда 
,
следовательно, 
Отсюда делаем вывод, что функция 
не удовлетворяет условию Липшица.
[1] Правило Лопиталя. Пусть функции f и g дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности U точки a (т.е. дифференцируемы во всех точках этой окрестности, за исключением, быть может, самой точки a), причем g’(x) отлична от нуля в U и пусть 
Тогда, если существует 
то существует и 
причем эти пределы равны: 