Введение

Многие физические объекты и происходящие в них процессы изломаны, изрезаны, фрагментарны. Они создают новую геометрию, в которой пространство фрактальное. Эта геометрия имеет дело с фрактальной линией, измерение длины которой требует бесконечного числа масштабов.

Фрактальные линии обладают еще одним удивительным свойством. Под каким бы увеличением не смотреть на фрактальную линию в микроскоп, она будет все такой же изрезанной и изломанной.

Цельноразмерная Евклидова геометрия – это 39 аксиом (по Давиду Гильберту). Новую фрактальную геометрию мы будем описывать дополнительно еще двумя аксиомами – аксиомами многомасштабности и самоподобия.

Слово фрактал введено в 1975 году Б. Мандельбротом. Оно произведено от латинского fractus, от которого происходят английские термины fraction, fractional - дробь, дробный. С математической точки зрения фрактал - это прежде всего множество с дробной размерностью.

Мы хорошо представляем себе, что точка имеет размерность 0, отрезок и окружность - размерность 1, круг и сфера - размерность 2. С одномерными объектами мы связываем понятие длины, с двумерными - площади и т.д. Но как можно представить себе множество с размерностью 3/2? По-видимому, для этого требуется нечто промежуточное между длиной и площадью, и если длину условно назвать 1-мерой, а площадь - 2-мерой, то требуется (3/2)-мера.

В 1919 году Ф. Хаусдорф действительно определил такую меру и на этой основе каждому множеству в евклидовом пространстве сопоставил число, названное им метрической размерностью. Он же привел первые примеры множеств с дробной размерностью.

Идеи Хаусдорфа, не опубликовавшего больше ни одной работы в этом направлении, были развиты А.С. Безиковичем, который длительное время был автором или соавтором практически всех работ по данной тематике.