В последующие годы размерность Хаусдорфа-Безиковича получила применение в некоторых разделах математики, но ничто не предвещало той популярности этого понятия за пределами математики, которая сейчас наблюдается. В частности, этому способствовала научная деятельность Б. Мандельброта, который в своих книгах привел яркие примеры применения фракталов к объяснению некоторых природных явлений.

Мандельброт уделил большое внимание интересному свойству, которым обладают многие фракталы. Дело в том, что часто фрактал можно разбить на сколь угодно малые части так, что каждая часть окажется просто уменьшенной копией целого. Иначе говоря, если мы будем смотреть на фрактал в микроскоп, то с удивлением увидим ту же самую картину, что и без микроскопа.

Это свойство самоподобия резко отличает фракталы от объектов классической геометрии.

Вот что писал Б. Мандельброт, сопоставляя классическую геометрию с фрактальной геометрией: "Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака - это не сферы, линии берега - это не окружность, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой. Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно. Существование этих структур бросает нам вызов в виде трудной задачи изучения тех форм, которые Евклид отбросил как бесформенные, - задачи исследования морфологии аморфного".

В работе выполнен обзор классических фракталов и различные виды такой фрактальной величины как размерность, а также дана математическая формулировка свойства самоподобия. Последняя позволяет строить новые фрактальные объекты.