Задача 6.12 Используя теорему Пуанкаре-Бендиксона, доказать существование цикла у уравнения:
Решение:
1) Найдем состояния равновесия данной системы:
Данная система уравнений имеет единственную точку покоя (0,0)
2)Составим Якобиан системы:
Для точки мы имеем:
Составим характеристическое уравнение матрицы:
или ,
Оба корня имеют положительные вещественные части полином не Гурвицев. Система имеет единственное неустойчивое равновесие.
3) Покажем, что система является диссипативной. Найдём Якобиан линейной части системы:
4)Составим характеристический полином для матрицы А: