Таким чином, Y являє собою проміжок з кінцями m i M (які самі можуть йому належати чи ні).
Отже,множина всіх значень відміної від сталої функції неперервної на відрізку складає деякий відрізок.
Теорема (Перша теорема Вейєрштрасса). Якщо функція неперервна на відрізку [а; b], то серед її значень на цьому відрізку існує найбільше і найменше.
Доведення. Міркуватимемо від супротивного: припустимо, що функція при зміні х на проміжку виявляється необмеженою.
У такому випадку для кожного натурального числа n знайдеться в проміжку таке значення , що
За теоремою Больцано-Веєрштрасса, з послідовності можна виділити збіжну підпослідовність
причому, очевидно, . Внаслідок неперервності функції в точці, тоді має бути і
,
а це неможливо, так як з формули (2.1) випливає, що
отримане протиріччя і доводить теорему.
Теорема (Друга теорема Вейєрштрасса). Неперервна на відрізку функція обмежена на цьому відрізку.
Доведення. Покладемо