Проміжки ці всі вибираються так, що жоден з них не покривається кінцевим числом проміжків . За лемою про вкладені проміжки, існує спільна для них усіх точка с, до якої прямують кінці .

Ця точка с, як і всяка точка проміжку , лежить в одному з проміжків , скажімо в, так що . Але скінечні , починаючи з де якого номера будуть самі міститися між і , так що проміжок [] виявиться покритим всього лише одним проміжком , всупереч самому вибору цих проміжків []. Отримане протиріччя і доводить лему.

3.Розриви функцій та їх класифікація.

Якщо хоча б одна з умов неперервності функції в точці не виконується, то функція розривна в точці , а саму точку називають точкою розриву функції.

Класифікація точок розриву проводиться таким чином:

1)                Кажуть, що функція неперервна в точці справа (зліва), якщо виконується відношення

Якщо хоча б одне із співвідношень не виконується, то функція має в точці розрив, відповідно, справа або зліва.

По відношенню до лівого (правого) кінця проміжку X, в якому функція визначена, може йти мова, очевидно, тільки про неперервність або розрив праворуч (ліворуч). Якщо ж є внутрішня точка проміжку X, тобто не збігається ні з одним з його кінців, то для того, щоб виконувалося формула (1.1), необхідно і достатньо, щоб мали місце відразу обидві рівності з формули (3.1). Іншими словами, неперервність функції в точці рівносильна її безперервності в цій точці одночасно справа і зліва.