1.3 Решение дифференциального уравнения колебания маятника с трением в точке подвеса методом конечных разностей

1.3.1 Метод конечных разностей для решения дифференциальных уравнений

Метод конечных разностей – численный метод решения дифференциальных уравнений, основанный на замене производных разностными схемами. Является сеточным методом [9].                                                                                                                                                                        Основные понятия:

Шаблон – это множество точек, с помощью которых аппроксимируются производные;

Разностная схема – это конечная система алгебраических уравнений, поставленная в соответствие для какой-либо дифференциальной задаче, содержащей дифференциальное уравнение и дополнительные условия.                            Для решения эллиптической задачи методом конечных разностей на расчётной области строится сетка, затем выбирается разностная схема и для каждого узла сетки записывается разностное уравнение (аналог исходного уравнения, но с использование разностной схемы), затем производится учёт краевых условий (для краевых условий второго и третьего рода так же строится некоторая разностная схема). Получается система линейных алгебраических уравнений, решая которую в ответе получают приближенные значения решения в узлах. Главной проблемой метода является построение правильной разностной схемы, которая будет сходится к решению. Построение схемы выполняется исходя из свойств исходного дифференциального оператора.

Решение задач методом конечных разностей, когда процесс изменяется во времени представляет собой итерационный процесс  –  на каждой итерации мы находим решение на новом временном слое. Для решения таких задач используются явные, неявные схемы и предиктор-корректор (пара из специально подобранных явной и неявной схемы). Явные схемы и схемы предиктор-корректор просто пересчитывают значение, используя информацию                                 с предыдущих временных слоёв, использование неявной схемы приводит к решению уравнения (или системы уравнений). Для параболических и гиперболических уравнений часто прибегают к действию смешивания             методов  – производные по времени аппроксимируют с помощью разностной схемы, а оператор по пространству аппроксимируется с помощью конечно-элементной постановки [10].